一、小波与小波变换原理
我们都知道，傅里叶变换是信号处理领域的经典工具，它能够将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的叠加，让我们了解信号的频率组成。
然而，傅里叶变换也存在一个明显的缺陷，它在将信号从时间域转换到频率域的过程中，会完全丢失时间信息。对于那些频率不随时间变化的平稳信号，这种时间信息的丢失或许影响不大，但对于声发射信号这样的非平稳信号，其频率成分会随时间快速变化，傅里叶变换就显得力不从心了。
为了弥补傅里叶变换的不足，短时傅里叶变换应运而生。它通过在信号上滑动一个固定宽度的窗口，将时域过程分解成多个小过程，然后对每个小过程进行傅里叶变换，从而获得信号在不同时间点的频率信息。这就像是我们在烹饪过程中，每隔一段时间检查一次食材的组合情况。但短时傅里叶变换也并非完美无缺，它的窗口宽度是固定的，这就导致在处理不同频率信号时存在局限性。对于高频信号，我们希望窗口窄一些，以便更精确地捕捉信号在时域的变化；而对于低频信号，我们则希望窗口宽一些，从而更好地分析其频率特性。但固定的窗口宽度无法同时满足这两种需求。
小波变换采用了可变宽度的窗口函数，能够根据信号的频率自动调整窗口大小。对于高频信号，它使用窄窗口，实现高的时域分辨率，精准地捕捉信号的快速变化；对于低频信号，它则使用宽窗口，保证高的频域分辨率，深入分析信号的缓慢变化趋势。这种自适应的“变焦” 能力，使得小波变换在时频分析上具有独特的优势，能够更全面、准确地揭示信号的特征。
小波变换的核心在于其多尺度分析能力，通过一个称为“母小波”的基函数，对信号进行连续平移和伸缩（尺度变换），从而实现窗口宽度的自适应调整。
其基本原理可概括为：
1、基函数与尺度伸缩
小波变换使用一个中心频率可调、窗口宽度可变的基函数（小波）来分析信号。通过改变尺度参数（a），小波函数在频率域进行压缩或扩展，从而实现对不同频率成分的分析。
2、平移操作与时域定位
通过平移参数（b）移动小波函数，可以分析信号在不同时间位置的特征，从而保留了信号的局部时间信息。
3、多分辨率分析
小波变换通过多尺度分解，将信号分解为不同频带的子信号，每个子信号对应不同的频率范围和分辨率，实现了对信号的多尺度精细刻画。
二、小波分析步骤
我们以离散小波变换（DWT）为例，来探讨小波分析步骤。
离散小波变换是一种在实际应用中广泛使用的小波变换形式，在进行离散小波变换时，首先要精心选择一个合适的小波基函数。小波基函数就像是搭建信号分析大厦的基石，不同的小波基函数具有不同的特性，如 Haar 小波简单且易于计算，Daubechies 小波则在信号处理中表现出良好的特性，我们需要根据具体的信号特点和分析目的来选择不同的小波基函数。
确定小波基函数后，接下来就要对尺度和平移参数进行选择。尺度参数控制着小波函数的伸缩程度，它决定了我们是在观察信号的细节部分（小尺度，对应高频成分），还是整体趋势（大尺度，对应低频成分）；平移参数则帮助我们定位信号特征在时间轴上的具体位置。这两个参数的选择，就像是调整显微镜的放大倍数和观察位置，以便更清晰地看到信号的各种特征。
完成参数选择后，就要进行卷积运算了。我们对原始信号进行下采样，并与选定的小波母函数进行互相关计算，也就是内积操作。这一步就像是用不同尺寸和形状的 “滤网” 对原信号进行过滤，通过这种方式，我们可以分别得到近似系数和细节系数。
近似系数代表了信号在当前尺度下的低频概貌，是信号的平滑版本；而细节系数则包含了信号在该尺度下丢失的高频细节，这些高频细节往往蕴含着信号的重要特征，如声发射信号中裂纹产生和扩展时的瞬间变化信息。
在实际应用中，通常会将上述过程重复多次，每次都把之前得到的近似分量再次分解为更精细的级别，这个过程被称为分解层次加深。通过不断加深分解层次，我们可以从不同分辨率的角度来观察信号，获取更丰富的信息，就像从不同倍数的显微镜下观察物体，能够看到更多的细节。
最后，如果我们需要重构原始信号，就可以通过逆 DWT 将各个级别的系数组合起来，恢复出接近于初始状态的信号。这个重构过程就像是将拆解的零件重新组装成完整的机器，使得我们在对信号进行分析处理后，还能保留原始信号的关键信息，以便后续进一步的研究和应用。
三、声发射信号特点
声发射信号是材料或结构在受力过程中，内部缺陷或微观结构变化产生的弹性波信号，具有独特的特点。它本质上属于非平稳信号，这意味着其频率成分和幅度会随着时间快速且不规则地变化。当金属材料在拉伸试验中，内部裂纹开始萌生和扩展时，声发射信号的频率和幅度就会瞬间改变，与平稳信号那种相对稳定的特性截然不同。
声发射信号还具有明显的瞬态特性，通常以突发的脉冲形式出现，持续时间极短。在复合材料受到冲击时，声发射信号会在瞬间爆发，随后迅速衰减，这种短暂而强烈的信号变化对检测和分析提出了很高的要求。此外，声发射信号非常微弱，常常被各种背景噪声所淹没，这使得从复杂的信号环境中准确提取和分析声发射信号变得异常困难。比如在工业生产现场，设备运行产生的机械振动噪声、电磁干扰噪声等，都会干扰声发射信号的检测，就像在嘈杂的集市中听清一个微弱的声音一样。
正是由于这些特点，传统的信号分析方法，如傅里叶变换，在处理声发射信号时存在很大的局限性。傅里叶变换假设信号是平稳的，将信号从时域转换到频域后，会丢失信号的时间信息，无法准确反映声发射信号的时变特性 。对于声发射信号中那些短暂的瞬态特征，傅里叶变换难以捕捉，往往会错失很多关键信息。
四、小波分析在声发射信号中的应用
1、降噪处理
在实际的声发射信号检测中，噪声的干扰是不可避免的，而小波分析为我们提供了一种有效的降噪手段。小波变换的降噪原理基于其多分辨率分析特性，能够将信号分解成不同尺度的子带，噪声通常集中在高频子带，而信号的主要特征则包含在低频子带。
以一个简单的例子来说明，假设我们采集到的声发射信号是一个被噪声污染的正弦波信号，在进行小波变换后，信号被分解为不同频率的成分。我们可以观察到，高频部分的系数波动较大，这些波动主要是由噪声引起的；而低频部分的系数则相对平稳，包含了信号的主要信息。
通过设定合适的阈值，对高频子带的小波系数进行处理，如将小于阈值的系数置零，就可以有效地去除噪声成分。再经过逆小波变换，将处理后的子带系数重构，就能得到去噪后的声发射信号，使得信号的特征更加清晰，为后续的分析和处理提供了更好的数据基础。
2、特征处理
从小波变换后的信号中提取特征是声发射信号分析的重要环节。通过小波变换，我们可以得到不同尺度下的小波系数，这些系数蕴含着丰富的信号特征信息。
在频率特征提取方面，不同尺度的小波系数对应着不同的频率范围，通过分析这些系数，我们能够获取信号在各个频率段的能量分布情况，从而确定信号的主要频率成分。在幅度特征提取上，小波系数的幅值大小反映了信号在对应尺度和位置上的幅度变化，我们可以从中提取出信号的峰值、均值等幅度特征，这些特征对于判断声发射源的性质和强度具有重要意义。
特征提取在实际应用中有着重要的意义。在材料的疲劳损伤监测中，通过对声发射信号的特征提取和分析，我们可以判断材料是否出现疲劳裂纹，以及裂纹的扩展程度。当材料内部出现疲劳裂纹时，声发射信号的频率和幅度特征会发生明显变化，通过与正常状态下的特征进行对比，就能及时发现材料的损伤情况，为材料的维护和更换提供依据，避免因材料失效而导致的安全事故。
3、源定位应用
结合小波分析和相关算法实现声发射源定位的过程，通常基于声发射信号到达不同传感器的时间差来进行计算。当声发射源产生信号时，信号会以一定的速度传播到周围的传感器，由于传感器与声发射源的距离不同，信号到达各个传感器的时间也会不同。
通过小波分析，我们可以对传感器接收到的信号进行处理，准确地提取出信号的到达时间。利用这些时间差信息，再结合相关的定位算法，如基于双曲线定位原理的算法，就可以计算出声发射源的位置。
在一个二维平面的结构中，布置三个传感器，当声发射源产生信号后，通过小波分析得到信号到达三个传感器的时间差，然后根据双曲线定位算法，就可以确定声发射源在平面内的坐标位置。
五、应用小波分析方法检测滚动轴承故障
当滚动轴承出现故障时，如滚动体或内外圈滚道表面发生点蚀、剥落等局部损伤，在轴承运转过程中，这些损伤部位会周期性地与滚道接触，产生非平稳的机械冲击信号。这种冲击会激起轴承系统的高频固有振动，形成具有瞬态特性的振动响应。由于这些冲击信号能量较弱且持续时间短，在实际工况下，它们往往被淹没在大量背景噪声（如设备运转噪声、电磁干扰等）中，导致传统时域或频域分析方法难以准确提取故障特征。
在故障检测流程中，首先通过加速度传感器或振动传感器采集滚动轴承运行时的振动信号。这些信号是轴承健康状况的“指纹”，包含了正常运行状态下的平稳振动分量以及故障状态下的瞬态冲击成分。由于故障信号具有非平稳、时变的特点，传统的傅里叶变换等线性分析方法难以有效分离故障特征与噪声。
小波变换作为一种时频分析工具，因其多尺度分解能力和局部化特性，成为处理非平稳信号的有力手段。具体分析步骤如下：
1、小波分解
将采集到的振动信号进行多尺度小波分解，使用特定的小波基函数（如Daubechies、Symlet等）将信号分解为不同频率子带。每个子带对应特定尺度（频率）下的信号成分，例如高频子带可能包含故障冲击信号，而低频子带可能反映设备整体振动趋势。
2、小波系数分析
通过分析各尺度子带的小波系数，可以提取信号的时频特征。对于正常轴承，小波系数分布相对平稳；而当轴承出现故障时，在特定尺度（如高频尺度）和对应频率范围内，小波系数会出现显著变化，表现为幅值增大、能量集中或出现周期性尖峰。
3、故障特征提取与判断
通过统计各尺度子带的能量分布、峭度指标或小波包熵等特征量，结合故障特征频率（如滚动体通过频率、外圈故障频率等），可以判断轴承是否存在故障。例如，若某尺度小波系数能量在故障特征频率附近显著增强，且峭度值超过阈值，则可初步判定存在点蚀故障。
4、故障类型与程度识别
进一步分析小波系数的时频分布模式，可以区分故障类型（如滚动体故障、内圈故障或外圈故障）并评估其严重程度。例如，滚动体故障通常表现为周期性冲击信号，其小波系数在时域上呈现等间隔尖峰；而内圈故障的冲击信号可能因接触角变化呈现非对称特性。
通过上述方法，小波变换能够有效分离故障信号与噪声，提取出隐藏在复杂振动数据中的故障特征，为滚动轴承的早期故障诊断和状态监测提供可靠依据。
